Calcolo delle probabilità delle varie combinazioni del poker

Premesse

Oggi calcoliamo le probabilità di vincita P nel poker europeo (32 carte) con la seguente formula:

P = (casi favorevoli ) / (casi possibili) %

Per esempio, se abbiamo un dado con 6 facce, la probabilità che esca una qualsiasi delle stesse è pari a:

P = 1 / 6 x 100 = 16,67%

Nel caso del poker abbiamo un mazzo con le carte ridotte, ipotizziamo per semplicità che ci siano 4 giocatori quindi, da regolamento, la carta più bassa dovrà essere 11 – 4 = 7, quindi avremo un mazzo di 32 carte distribuite su 4 semi, ovvero:

7 8 9 10 J Q K A

senza jolly e senza le altre carte, sui semi cuori, quadri, fiori, picche, ovvero 8 x 4 = 32 carte in tutto. Andiamo anzitutto a calcolare il numero di modi in cui le carte possono apparire in mano ad un giocatore, ovvero le combinazioni di 32 carte prese a gruppi di 5:

32! / 5! = 201.376

Ricordiamo che n! significa fattoriale, ed implica che uno moltiplichi il numero intero a ritroso, fino ad arrivare ad uno, quindi ad esempio 5! = 5*4*3*2*1 = 120. Nel caso in esame avremo 201376 combinazioni possibili di tutte le carte in gioco:

C ( 32 carte a gruppi di 5 =  (32!)/5! = 201376.

Probabilità di avere una coppia (2 carte dello stesso valore)

Ragioniamo d’ora in poi sulla prima mano, per non complicare troppo il calcolo: le probabilità di ottenere una combinazione specifica alla mano successiva o cambiando un certo numero di carte non verranno considerate per semplicità. Il numero delle possibili coppie valide, da 7 e 7, 8 e 8, … fino a A e A, è dato dal calcolo combinatorio, ed è data da:

P (coppia) = 107520/201.376 = 53 %

Doppia coppia (2 coppie)

Per ragioni analoghe, la probabilità di avere una doppia coppia in prima mano è decisamente più bassa, e si aggira attorno a:

P (doppia coppia) = 107520/201.376 = 12 %

Tris (3 carte dello stesso valore)

La probabilità di avere un tris a Poker in prima mano è ancora più bassa, e si aggira attorno a:

P (tris) = 2,5 %

Scala semplice

La probabilità di avere un tris a Poker in prima mano è ancora più bassa, e si aggira attorno a:

P (scala semplice) = 5,3 %

Full

P (full) = 0,6 %

Colore

P (colore) = 0,10 %

Poker

P (poker) = 0,11 %

Scala reale

È il caso più ambito e fortunato, ma anche il meno probabile in assoluto: capita infatti in soli 9 casi su 100.000, ovvero:

P (scala reale) = 0,009%